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Advanced Algebra  
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《高等代数》教学大纲

课程名称: 高等代数(解析几何)(Advanced Algebra(Analytic Geometry))

课程代码: 105310

开设部门: 应用数学系

授课教师:

总学时: 78+102=180 (包括习题课、节假日,不包括考试)

学分: 5+6=11

开课学期: 第1学期和第2学期

预修课程:《初等数学》

指定教材:
《高等代数》,上海财经大学应用数学系编,出版社,2008年;
《解析几何》(第三版),吕林根,许子道等编,高教出版社,1987年。

参考书目:
《高等代数》(第三版),北京大学数学系编,高教出版社, 2003年;
《高等代数》,姚慕生编,复旦大学出版社,第一版,2003年;
《高等代数(指导丛书)》,姚慕生,复旦大学出版社,2003年;
《解析几何》, 丘维声编, 北京大学出版社, 2003年

教学目的与要求:《高等代数》是基础数学、应用数学、计算数学、概率统计、金融、经济等学科的一门主干基础课和必修课。这门课程以矩阵为主要研究对象,其特点是概念多、定理多,内容纵横交错,知识前后连贯,知识之间逻辑性强。其中包含的内容既有较强的抽象性和概括性,又具有广泛的应用性。解析几何的基本思想则是用代数的方法来研究几何。探究几何问题的一个完整过程往往包括从几何到代数、再从代数回到几何两个方面,其间需要较强的几何直观能力和空间想象能力。因此,通过本课程的学习,能使学生掌握该课程的基本理论、思想和方法,为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证。同时对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力有着重要的作用。特别是随着计算机以及数值计算方法的不断发展,使得数学已日益渗透到各领域(包括经济、金融、管理等)并得以把实际问题量化处理解决。而高等代数是数值计算的重要基础和有力的工具。
本课程代数部分的内容有:多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组理论、矩阵特征值问题、线性空间与线性变换、二次型、欧几里得空间、双线性函数等。它的核心内容是线性空间和线性变换;所使用的研究工具则是矩阵和行列式。解析几何是用代数的方法来研究几何,从而把几何问题的讨论,从定性的研究推进到可以计算的定量层面。其基本内容是:向量的概念及其运算;直线与平面;特殊曲面。
考虑到该课程是学生刚进入高等数学的初学者,对一些概念的理解和证明方法应给予一个适应过程,但必须使学生做到严谨。通过一定数量的习题,以培养学生这种严谨性。

教学方式:课堂讲授、学生课后作业

考核方式:期末书面考试

 

教学内容
第一章 多项式
1、教学内容:(16学时)
§1.1数域(1学时)
§1.2一元多项式 (1学时)
§1.3 整除(2学时)
§1.4 最大公因式 (3学时)
§1.5 因式分解 (3学时)
§1.6 多项式根的存在定理(2学时)
§1.7 复系数与实系数多项式的因式分解 (2学时)
§1.8 有理系数多项式(2学时)
§1.9 多元多项式(2学时)
§1.10 对称多项式*
2、教学目的及要求:
掌握多项式的带余除法、整除、因式分解、可约性的概念;掌握代数基本定理、实系数多项式根的性质和有理系数多项式的不可约判别法。对称多项式作为选修。

第二章 行列式
1、教学内容:(8学时)
§2.1 引言
§2.2 排列与逆序(2学时)
§2.3 n阶行列式的定义(1学时)
§2.4 行列式的性质与计算(4学时)
§2.5 克莱姆法则(1学时)
§2.6 拉普拉斯(Laplace)定理*
2、教学目的及要求:
掌握行列式的概念和性质,熟练应用行列式的性质计算行列式,并会运用克莱姆法则求解线性方程组。重点讲授n阶行列式的定义和一些计算技巧,而Laplace定理作为选修。

第三章 矩阵
1、教学内容:(13学时)
§3.1 矩阵的概念 (1学时)
§3.2 矩阵的运算(3学时)
§3.3 矩阵的逆 (3学时)
§3.4 矩阵的初等变换(4学时)
§3.5 矩阵的分块(2学时)
2、教学目的及要求:
理解矩阵的概念;能熟练地进行矩阵的基本运算,包括分块矩阵的相应运算; 掌握方阵可逆的条件;理解初等变换和初等矩阵之间的关系,熟练掌握矩阵的初等变换运算,会运用初等变换法求逆阵。

第四章 线性方程组
1、教学内容:(14学时)
§4.1 n维向量(1学时)
§4.2 向量组的线性相关性(4学时)
§4.3 向量组的秩(3学时)
§4.4 矩阵的秩(2学时)
§4.5 线性方程组(4学时)
2、教学目的及要求:
正确理解向量组的线性关系及秩的有关概念,能运用性质正确判断向量组的线性关系,能论证向量组的线性无关性;掌握线性方程组解的结构理论;能熟练地运用初等变换法求向量组和矩阵的秩、讨论方程组解的情况。

第五章 特征值问题
1、教学内容:(8学时)
§5.1 特征值和特征向量(3学时)
§5.2 矩阵的相似性(2学时)
§5.3 最小多项式与Hamilton-Caylay 定理(3学时)
2、教学目的及要求:
理解特征值的概念及其性质;掌握矩阵相似对角化的条件;掌握Hamilton-Caylay定理和极小多项式的概念

第六章 线性空间与线性变换
1、教学内容:(18学时)
§6.1 线性空间与简单性质(2学时)
§6.2 基与维数(2学时)
§6.3 基变换与坐标变换(2学时)
§6.4 线性子空间(2学时)
§6.5 线性变换及其基本运算(2学时)
§6.6 线性变换的矩阵(4学时)
§6.7 线性变换的值域与核(2学时)
§6.8 不变子空间(2学时)
2、教学目的及要求:
掌握线性空间、基和维数、子空间、线性映射和线性变换等概念;理解线性空间的基和坐标的关系, 基变换和坐标变换的关系,线性映射的运算和矩阵运算的关系,线性变换与矩阵的关系; 能熟练应用矩阵来求解或讨论线性方程组的解。掌握值域、核以及不变子空间的概念。

第七章 内积空间
1、教学内容:(12学时)
§7.1 内积空间与简单性质(2学时)
§7.2 标准正交基(2学时)
§7.3 正交变换与正交矩阵(2学时)
§7.4 对称矩阵的标准形(2学时)
§7.5 酉空间与酉变换(2学时)
§7.6 正规矩阵*
2、教学目的及要求:
掌握内积空间特别是欧氏空间和酉空间的概念, 掌握标准正交基、正交变换和酉变换的概念; 理解正交变换和正交矩阵、酉变换和酉矩阵的关系。

第八章 二次型
1、教学内容:(6学时)
§8.1 二次型及其矩阵表示(2学时)
§8.2 标准形(2学时)
§8.3 正定二次型与正定矩阵(2学时)
2、教学目的及要求:
理解二次型和对称矩阵的关系, 能运用矩阵方法来处理二次型的问题;掌握用线性替换化二次型为标准形;掌握正定型的判别法。

第九章 矩阵多项式与Jordan标准形
1、教学内容:(9学时)
§9.1 矩阵多项式(1学时)
§9.2 不变因子(2学时)
§9.3 初等因子(2学时)
§9.4 矩阵的Jordan标准形(2学时)
§9.5 Jordan标准形进一步讨论(2学时)
2、教学目的及要求:
掌握矩阵的不变因子、初等因子和Jordan 标准形的概念; 并会求矩阵的不变因子、初等因子和 Jordan标准型; 掌握λ一矩阵的标准形唯一性和矩阵相似的条件。

第十章 双线性函数*
1、教学内容:(10学时)
§10.1 线性函数(2学时)
§10.2 对偶空间(2学时)
§10.3 双线性函数(4学时)
2、教学目的及要求:
掌握对偶空间和对偶基、双线性函数及度量矩阵的概念。
第十一章 最小二乘问题
1、教学内容:(4学时)
§11.1 最小二乘问题(2学时)
§11.2 奇异值分解(2学时)
§11.3 广义逆矩阵*
2、教学目的及要求:
掌握最小二乘法以及奇异值分解的理论及其应用。

注:
1、以上教学内容课时不包括习题课和测验课时。
2、星号部分内容为选读内容。

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